Номер 427, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

427. Через произвольно выбранную точку прямой, содержащей общую хорду двух окружностей, проведены их касательные. Докажите, что расстояния от этой точки до точек касания равны друг другу.

Пусть даны две пересекающиеся окружности, которые мы обозначим $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть они пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая, проходящая через $A$ и $B$, является прямой, содержащей общую хорду $AB$.

Возьмём на этой прямой произвольную точку $P$. Из точки $P$ проведём касательную к окружности $\omega_1$ в точке $T_1$ и касательную к окружности $\omega_2$ в точке $T_2$. Требуется доказать, что расстояния от точки $P$ до точек касания $T_1$ и $T_2$ равны, то есть $PT_1 = PT_2$.

Для доказательства воспользуемся теоремой о касательной и секущей. Эта теорема гласит, что если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Рассмотрим окружность $\omega_1$ и точку $P$. Из точки $P$ к этой окружности проведена касательная $PT_1$ и секущая, проходящая через точки $A$ и $B$. По теореме о касательной и секущей имеем:
$PT_1^2 = PA \cdot PB$

Теперь рассмотрим окружность $\omega_2$ и ту же точку $P$. Из точки $P$ к этой окружности проведена касательная $PT_2$ и та же самая секущая, проходящая через точки $A$ и $B$. По той же теореме:
$PT_2^2 = PA \cdot PB$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что правые части обоих равенств совпадают. Следовательно, должны быть равны и левые части:
$PT_1^2 = PT_2^2$

Так как длина отрезка является неотрицательной величиной, из равенства квадратов длин следует и равенство самих длин:
$PT_1 = PT_2$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Расстояния от этой точки до точек касания равны друг другу.