Номер 8, страница 203 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Как построить середину отрезка, биссектрису угла?

Как построить середину отрезка

Построение середины отрезка, также известное как построение серединного перпендикуляра, выполняется с помощью циркуля и линейки без делений. Пусть дан отрезок $AB$.

1. Установите иглу циркуля в точку $A$. Раствор циркуля выберите большим, чем половина длины отрезка $AB$. Проведите дугу окружности так, чтобы она проходила над и под отрезком.
2. Не меняя раствора циркуля, установите его иглу в точку $B$. Проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках. Обозначим эти точки пересечения как $C$ и $D$.
3. С помощью линейки проведите прямую через точки $C$ и $D$.
4. Точка пересечения прямой $CD$ и отрезка $AB$ является его серединой. Обозначим эту точку $M$.

Обоснование: По построению, точки $C$ и $D$ равноудалены от концов отрезка $A$ и $B$ ($AC=BC$ и $AD=BD$ как радиусы окружностей с одинаковым раствором циркуля). Любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Следовательно, прямая $CD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Точка $M$, принадлежащая одновременно и отрезку $AB$, и его серединному перпендикуляру, по определению является серединой отрезка $AB$.
Ответ: Середина отрезка строится как точка пересечения данного отрезка с его серединным перпендикуляром, который, в свою очередь, строится с помощью двух пересекающихся дуг окружностей одинакового радиуса (большего половины длины отрезка), проведенных из его концов.

Как построить биссектрису угла

Для построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки, пусть дан угол с вершиной в точке $O$.

1. Установите иглу циркуля в вершину угла $O$ и проведите дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла обе стороны угла. Обозначим точки пересечения как $P$ и $Q$.
2. Из точки $P$ проведите дугу внутри угла. Раствор циркуля можно оставить прежним или изменить, главное, чтобы он был достаточно большим для пересечения.
3. Не меняя раствора циркуля, установленного на предыдущем шаге, установите его иглу в точку $Q$ и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Обозначим точку их пересечения как $R$.
4. С помощью линейки проведите луч из вершины $O$ через точку $R$. Этот луч $OR$ и есть биссектриса исходного угла.

Обоснование: Соединим точку $R$ с точками $P$ и $Q$. Рассмотрим треугольники $\triangle OPR$ и $\triangle OQR$. По построению, $OP = OQ$ (как радиусы одной окружности с центром в $O$), и $PR = QR$ (как радиусы равных окружностей с центрами в $P$ и $Q$). Сторона $OR$ является общей для обоих треугольников. Следовательно, $\triangle OPR = \triangle OQR$ по трем сторонам (признак SSS). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle POR = \angle QOR$. Это означает, что луч $OR$ делит исходный угол пополам, то есть является его биссектрисой.
Ответ: Биссектриса угла строится путем проведения луча из вершины угла через точку пересечения двух дуг одинакового радиуса, проведенных из точек на сторонах угла, которые равноудалены от вершины.