Номер 10, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Как определяется произведение вектора на число?

Произведение вектора на число (также называемое умножением на скаляр) — это операция, в результате которой получается новый вектор. Пусть дан вектор $\vec{a}$ и действительное число $k$. Их произведением называется вектор $\vec{b} = k\vec{a}$, который определяется следующим образом.

Существует два эквивалентных способа определения этого произведения: геометрический и координатный.

Геометрическое определение

С точки зрения геометрии, результирующий вектор $\vec{b}$ характеризуется своей длиной (модулем) и направлением по отношению к исходному вектору $\vec{a}$:

• Длина (модуль) нового вектора $\vec{b}$ равна произведению длины исходного вектора $\vec{a}$ на модуль (абсолютное значение) числа $k$:
  $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$
• Направление нового вектора $\vec{b}$ является коллинеарным направлению вектора $\vec{a}$ и зависит от знака числа $k$:
  • Если $k > 0$, то вектор $\vec{b}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ (имеет то же направление). Это обозначается как $\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$.
  • Если $k < 0$, то вектор $\vec{b}$ направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{a}$. Это обозначается как $\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$.

Особые случаи:

• Если $k = 0$ или исходный вектор $\vec{a}$ является нулевым ($\vec{a} = \vec{0}$), то их произведение равно нулевому вектору: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ и $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$.
• Нулевой вектор $\vec{0}$ — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено.

Координатное определение

Если вектор задан в координатной системе, то умножение вектора на число выполняется поэлементно. Чтобы найти координаты вектора $\vec{b} = k\vec{a}$, нужно каждую координату вектора $\vec{a}$ умножить на число $k$.

• Для вектора на плоскости с координатами $\vec{a} = (a_x; a_y)$, произведение будет:
  $k\vec{a} = (k \cdot a_x; k \cdot a_y)$
• Для вектора в пространстве с координатами $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$, произведение будет:
  $k\vec{a} = (k \cdot a_x; k \cdot a_y; k \cdot a_z)$

Например, если дан вектор $\vec{c} = (1; -4; 3)$ и число $k = -2$, то вектор-произведение будет равен:
$-2\vec{c} = (-2 \cdot 1; -2 \cdot (-4); -2 \cdot 3) = (-2; 8; -6)$.

Ответ: Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ является новый вектор $k\vec{a}$, который коллинеарен исходному. Длина этого нового вектора равна произведению длины исходного вектора на абсолютное значение числа $k$ (то есть $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$). Направление нового вектора совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположно ему, если $k < 0$. Если вектор задан в координатах, то для нахождения произведения нужно каждую его координату умножить на число $k$.