Номер 18, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

18. Как связаны между собой боковая поверхность правильной усеченной пирамиды, периметры ее оснований и апофема?

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды состоит из нескольких равных между собой равнобедренных трапеций (по числу сторон многоугольника в основании). Площадь боковой поверхности — это сумма площадей всех этих трапеций.

Для того чтобы найти связь между искомыми величинами, введем обозначения:

• $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;
• $P_1$ и $P_2$ — периметры нижнего (большего) и верхнего (меньшего) оснований соответственно;
• $h_a$ — апофема усеченной пирамиды (высота боковой грани-трапеции).

Рассмотрим одну боковую грань. Это равнобедренная трапеция. Пусть стороны оснований этой трапеции равны $a_1$ (сторона большего основания пирамиды) и $a_2$ (сторона меньшего основания пирамиды). Высота этой трапеции — это апофема $h_a$.

Площадь одной такой трапеции ($S_{грани}$) вычисляется по формуле:
$S_{грани} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a$

Пусть в основаниях пирамиды лежат правильные $n$-угольники. Тогда боковая поверхность состоит из $n$ таких трапеций. Площадь всей боковой поверхности будет равна:
$S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a$

Периметры оснований равны $P_1 = n \cdot a_1$ и $P_2 = n \cdot a_2$.
Преобразуем формулу для площади боковой поверхности, раскрыв скобки в числителе:
$S_{бок} = \frac{n \cdot a_1 + n \cdot a_2}{2} \cdot h_a$

Теперь заменим произведения $n \cdot a_1$ и $n \cdot a_2$ на соответствующие периметры $P_1$ и $P_2$:
$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a$

Эта формула и выражает искомую связь: боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды ($S_{бок}$) связана с периметрами ее оснований ($P_1$ и $P_2$) и апофемой ($h_a$) следующей формулой: $S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a$.