Номер 727, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

727. Постройте прямую, проходящую через данную:

а) внутри угла точку и отсекающую на его сторонах равные отрезки;

б) точку, а две данные параллельные прямые высекают из нее отрезок, равный данному отрезку;

в) точку и равноудаленную от двух данных точек.

а) внутри угла точку и отсекающую на его сторонах равные отрезки;

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и точка $P$, расположенная внутри этого угла. Требуется построить прямую, проходящую через точку $P$, которая пересекает стороны угла в точках $A$ и $B$ так, что отрезки $OA$ и $OB$ равны.

Анализ: Если искомая прямая пересекает стороны угла в точках $A$ и $B$ так, что $OA = OB$, то треугольник $AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, в данном случае угла $AOB$, является также высотой, опущенной на основание $AB$. Это означает, что искомая прямая, содержащая отрезок $AB$, должна быть перпендикулярна биссектрисе угла $AOB$. Так как эта прямая должна проходить через данную точку $P$, то она является перпендикуляром, опущенным из точки $P$ на биссектрису угла.

Построение:

1. Строим биссектрису $l$ данного угла с вершиной $O$.
2. Из точки $P$ опускаем перпендикуляр на прямую $l$.
3. Построенная прямая-перпендикуляр является искомой.

Доказательство: Пусть построенная прямая $m$ проходит через точку $P$ и пересекает биссектрису $l$ в точке $H$, а стороны угла — в точках $A$ и $B$. По построению $m \perp l$, значит, $\angle OHA = \angle OHB = 90^\circ$. Рассмотрим треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OHB$. У них общая сторона $OH$, и прилежащие к ней углы $\angle AOH$ и $\angle BOH$ равны, так как $l$ — биссектриса. Следовательно, $\triangle OHA \cong \triangle OHB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $OA = OB$. Таким образом, построенная прямая проходит через точку $P$ и отсекает на сторонах угла равные отрезки.

Ответ: Искомая прямая — это перпендикуляр, опущенный из данной точки на биссектрису данного угла.

б) точку, а две данные параллельные прямые высекают из нее отрезок, равный данному отрезку;

Пусть даны точка $P$, две параллельные прямые $a$ и $b$, и отрезок длиной $d$. Требуется построить прямую, проходящую через $P$, которая пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно так, что длина отрезка $AB$ равна $d$.

Анализ: Искомая прямая должна иметь такое направление, чтобы отрезок, заключенный между параллельными прямыми, имел длину $d$. Мы можем найти это направление, построив вспомогательную прямую с таким свойством. Для этого выберем на одной из прямых, например на $a$, произвольную точку $X$. Затем найдем на прямой $b$ такую точку $Y$, чтобы расстояние $XY$ было равно $d$. Множество всех точек, удаленных от $X$ на расстояние $d$, — это окружность с центром в $X$ и радиусом $d$. Точка $Y$ будет точкой пересечения этой окружности с прямой $b$. Прямая $XY$ задаст искомое направление. Искомая прямая должна проходить через точку $P$ и быть параллельной $XY$.

Построение:

1. На прямой $a$ выбираем произвольную точку $X$.
2. Строим окружность с центром в точке $X$ и радиусом, равным длине $d$ данного отрезка.
3. Находим точку (или точки) пересечения этой окружности с прямой $b$. Обозначим одну из них $Y$. Если окружность не пересекает прямую $b$ (т. е. если $d$ меньше расстояния между прямыми $a$ и $b$), то задача не имеет решения.
4. Проводим прямую через точки $X$ и $Y$.
5. Через данную точку $P$ строим прямую $m$, параллельную прямой $XY$. Эта прямая $m$ является искомой.

Доказательство: Пусть построенная прямая $m$ пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Рассмотрим четырехугольник $AXYB$. Его стороны $AX$ и $BY$ лежат на параллельных прямых $a$ и $b$, следовательно, $AX \parallel BY$. По построению, $AB \parallel XY$. Таким образом, $AXYB$ — параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому $AB = XY$. По построению, длина отрезка $XY$ равна $d$. Следовательно, $AB = d$. Прямая $m$ проходит через $P$ и удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Искомая прямая строится путем проведения через данную точку $P$ прямой, параллельной прямой $XY$, где $X$ — произвольная точка на одной из параллельных прямых, а $Y$ — точка на другой прямой, такая что $XY$ равно длине данного отрезка.

в) точку и равноудаленную от двух данных точек.

Пусть даны точка $P$ и две другие точки $A$ и $B$. Требуется построить прямую, которая проходит через точку $P$ и находится на равном расстоянии от точек $A$ и $B$.

Анализ: Прямая $m$ равноудалена от двух точек $A$ и $B$, если расстояния от этих точек до прямой равны. Геометрическое место прямых, равноудаленных от двух точек, состоит из двух типов прямых:
1. Прямые, параллельные отрезку $AB$.
2. Прямые, проходящие через середину отрезка $AB$.
Поскольку искомая прямая должна проходить через точку $P$, она должна принадлежать одному из этих двух множеств. Следовательно, задача может иметь два решения.

Построение:

Решение 1:

1. Соединяем точки $A$ и $B$ прямой.
2. Через точку $P$ проводим прямую $m_1$, параллельную прямой $AB$.

Решение 2:

1. Находим середину $M$ отрезка $AB$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).
2. Проводим прямую $m_2$ через точки $P$ и $M$.

Прямые $m_1$ и $m_2$ являются искомыми.

Доказательство:
1. Для прямой $m_1$: Так как $m_1 \parallel AB$, расстояние от любой точки прямой $AB$ до прямой $m_1$ постоянно. Следовательно, расстояние от точки $A$ до $m_1$ равно расстоянию от точки $B$ до $m_1$. Прямая $m_1$ проходит через $P$.
2. Для прямой $m_2$: Пусть $m_2$ — прямая, проходящая через $P$ и середину $M$ отрезка $AB$. Опустим перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ из точек $A$ и $B$ на прямую $m_2$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMA'$ и $\triangle BMB'$. В них гипотенузы $AM$ и $BM$ равны, так как $M$ — середина $AB$. Углы $\angle A'MA$ и $\angle B'MB$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle AMA' \cong \triangle BMB'$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство катетов: $AA' = BB'$, что означает, что расстояния от точек $A$ и $B$ до прямой $m_2$ равны. Прямая $m_2$ проходит через $P$.
В общем случае, когда точки $P, A, B$ не лежат на одной прямой, задача имеет два решения. Если точки $P, A, B$ коллинеарны, то прямые $m_1$ и $m_2$ совпадают, и решение единственно.

Ответ: Искомая прямая — это либо прямая, проходящая через точку $P$ параллельно отрезку $AB$, либо прямая, проходящая через точку $P$ и середину отрезка $AB$.