Номер 718, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

718. Прямая, проходящая через середину диагонали $MO$ четырехугольника $MNOP$ параллельно прямой $NP$, пересекает прямую $NO$ в точке $A$, а прямая, проходящая через середину диагонали $NP$ параллельно прямой $MO$, пересекает прямую $MP$ в точке $B$. Докажите, что прямая $AB$ параллельна прямой $OP$.

Докажем, что четырехугольник $MNOP$ является плоским. Для этого введем векторы с началом в вершине $O$. Пусть $\vec{OM} = \vec{m}$, $\vec{ON} = \vec{n}$, $\vec{OP} = \vec{p}$.

Пусть $K$ — середина диагонали $MO$. Тогда ее радиус-вектор $\vec{OK} = \frac{1}{2}\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{m}$. Прямая, проходящая через точку $A$, по условию проходит через точку $K$ и параллельна прямой $NP$. Вектор, направляющий для этой прямой, это $\vec{NP} = \vec{OP} - \vec{ON} = \vec{p} - \vec{n}$. Тогда векторное уравнение этой прямой: $\vec{r} = \vec{OK} + t \cdot \vec{NP} = \frac{1}{2}\vec{m} + t(\vec{p} - \vec{n})$ для некоторого скаляра $t$.

Точка $A$ лежит на прямой $NO$. Векторное уравнение прямой $NO$: $\vec{r} = s \cdot \vec{ON} = s\vec{n}$ для некоторого скаляра $s$. Поскольку точка $A$ является точкой пересечения этих двух прямых, ее радиус-вектор $\vec{OA}$ должен удовлетворять обоим уравнениям:$\vec{OA} = s\vec{n} = \frac{1}{2}\vec{m} + t(\vec{p} - \vec{n})$. Перенеся все члены в одну сторону, получим:$\frac{1}{2}\vec{m} - (s+t)\vec{n} + t\vec{p} = \vec{0}$.

Если бы векторы $\vec{m}$, $\vec{n}$, $\vec{p}$ были линейно независимы (что означало бы, что точки $M, N, P$ не лежат в одной плоскости с точкой $O$), то все коэффициенты в этом уравнении должны были бы быть равны нулю. То есть, $\frac{1}{2} = 0$, что является противоречием. Следовательно, векторы $\vec{m}$, $\vec{n}$, $\vec{p}$ линейно зависимы, а это означает, что точки $M, N, O, P$ лежат в одной плоскости.

Теперь, когда мы установили, что четырехугольник плоский, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Диагонали $MO$ и $NP$ пересекаются.

Пусть $X$ — точка пересечения диагоналей $MO$ и $NP$. Примем $X$ за начало отсчета векторов. Тогда точки $M, X, O$ лежат на одной прямой, и точки $N, X, P$ лежат на другой. Это означает, что существуют такие скаляры $\lambda$ и $\mu$, что $\vec{XO} = -\lambda\vec{XM}$ и $\vec{XP} = -\mu\vec{XN}$ (где $\lambda > 0, \mu > 0$, так как $X$ лежит между вершинами диагоналей).

$K$ — середина $MO$. Ее вектор: $\vec{XK} = \frac{1}{2}(\vec{XM} + \vec{XO}) = \frac{1}{2}(\vec{XM} - \lambda\vec{XM}) = \frac{1-\lambda}{2}\vec{XM}$. Прямая через $K$, параллельная $NP$, имеет направляющий вектор $\vec{NP} = \vec{XP} - \vec{XN} = -\mu\vec{XN} - \vec{XN} = -(\mu+1)\vec{XN}$. Уравнение этой прямой: $\vec{r}(t) = \vec{XK} + t\vec{NP} = \frac{1-\lambda}{2}\vec{XM} - t(\mu+1)\vec{XN}$. Эта прямая пересекает прямую $NO$ в точке $A$. Уравнение прямой $NO$: $\vec{r}(s) = (1-s)\vec{XN} + s\vec{XO} = (1-s)\vec{XN} - s\lambda\vec{XM}$. Приравнивая выражения для $\vec{XA}$, получаем:$\frac{1-\lambda}{2}\vec{XM} - t(\mu+1)\vec{XN} = -s\lambda\vec{XM} + (1-s)\vec{XN}$. Так как векторы $\vec{XM}$ и $\vec{XN}$ неколлинеарны, коэффициенты при них должны быть равны:$\begin{cases} \frac{1-\lambda}{2} = -s\lambda \\ -t(\mu+1) = 1-s \end{cases}$Из первого уравнения $s = \frac{\lambda-1}{2\lambda}$. Тогда $\vec{XA} = (1-s)\vec{XN} + s\vec{XO} = (1 - \frac{\lambda-1}{2\lambda})\vec{XN} - (\frac{\lambda-1}{2\lambda})\lambda\vec{XM} = \frac{\lambda+1}{2\lambda}\vec{XN} - \frac{\lambda-1}{2}\vec{XM}$.

Теперь найдем положение точки $B$. Пусть $L$ — середина $NP$. Ее вектор: $\vec{XL} = \frac{1}{2}(\vec{XN} + \vec{XP}) = \frac{1}{2}(\vec{XN} - \mu\vec{XN}) = \frac{1-\mu}{2}\vec{XN}$. Прямая через $L$, параллельная $MO$, имеет направляющий вектор $\vec{MO} = \vec{XO} - \vec{XM} = -\lambda\vec{XM} - \vec{XM} = -(\lambda+1)\vec{XM}$. Уравнение этой прямой: $\vec{r}(u) = \vec{XL} + u\vec{MO} = \frac{1-\mu}{2}\vec{XN} - u(\lambda+1)\vec{XM}$. Эта прямая пересекает прямую $MP$ в точке $B$. Уравнение прямой $MP$: $\vec{r}(v) = (1-v)\vec{XM} + v\vec{XP} = (1-v)\vec{XM} - v\mu\vec{XN}$. Приравнивая выражения для $\vec{XB}$, получаем:$\frac{1-\mu}{2}\vec{XN} - u(\lambda+1)\vec{XM} = (1-v)\vec{XM} - v\mu\vec{XN}$. Приравниваем коэффициенты:$\begin{cases} \frac{1-\mu}{2} = -v\mu \\ -u(\lambda+1) = 1-v \end{cases}$Из первого уравнения $v = \frac{\mu-1}{2\mu}$. Тогда $\vec{XB} = (1-v)\vec{XM} + v\vec{XP} = (1 - \frac{\mu-1}{2\mu})\vec{XM} - (\frac{\mu-1}{2\mu})\mu\vec{XN} = \frac{\mu+1}{2\mu}\vec{XM} - \frac{\mu-1}{2}\vec{XN}$.

Теперь найдем вектор $\vec{AB}$:$\vec{AB} = \vec{XB} - \vec{XA} = \left(\frac{\mu+1}{2\mu}\vec{XM} - \frac{\mu-1}{2}\vec{XN}\right) - \left(\frac{\lambda+1}{2\lambda}\vec{XN} - \frac{\lambda-1}{2}\vec{XM}\right)$$\vec{AB} = \left(\frac{\mu+1}{2\mu} + \frac{\lambda-1}{2}\right)\vec{XM} - \left(\frac{\mu-1}{2} + \frac{\lambda+1}{2\lambda}\right)\vec{XN}$$\vec{AB} = \left(\frac{\mu+1+\mu\lambda-\mu}{2\mu}\right)\vec{XM} - \left(\frac{\lambda\mu-\lambda+\lambda+1}{2\lambda}\right)\vec{XN}$$\vec{AB} = \frac{\lambda\mu+1}{2\mu}\vec{XM} - \frac{\lambda\mu+1}{2\lambda}\vec{XN} = \frac{\lambda\mu+1}{2\lambda\mu}(\lambda\vec{XM} - \mu\vec{XN})$.

Найдем вектор $\vec{OP}$:$\vec{OP} = \vec{XP} - \vec{XO} = -\mu\vec{XN} - (-\lambda\vec{XM}) = \lambda\vec{XM} - \mu\vec{XN}$. Сравнивая выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{OP}$, видим, что:$\vec{AB} = \frac{\lambda\mu+1}{2\lambda\mu} \vec{OP}$. Поскольку вектор $\vec{AB}$ является произведением вектора $\vec{OP}$ на скаляр, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{OP}$ коллинеарны, а значит, прямая $AB$ параллельна прямой $OP$.

Случай 2: Диагонали $MO$ и $NP$ параллельны.

В этом случае четырехугольник $MNOP$ является трапецией с основаниями $MO$ и $NP$. Прямая, проходящая через середину $MO$ (точку $K$) параллельно $NP$, является самой прямой $MO$, так как $MO \parallel NP$. Эта прямая пересекает прямую $NO$ в точке $A$. Точка пересечения прямых $MO$ и $NO$ — это их общая точка $O$. Следовательно, $A=O$.

Аналогично, прямая, проходящая через середину $NP$ (точку $L$) параллельно $MO$, является самой прямой $NP$. Эта прямая пересекает прямую $MP$ в точке $B$. Точка пересечения прямых $NP$ и $MP$ — это их общая точка $P$. Следовательно, $B=P$.

Таким образом, прямая $AB$ совпадает с прямой $OP$. Любая прямая считается параллельной самой себе, поэтому $AB \parallel OP$.

В обоих случаях утверждение задачи доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $AB$ параллельна прямой $OP$.