Номер 680, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

680. Точка $Q$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности.

Докажите, что точка $H$ является точкой пересечения высот тогда

и только тогда, когда $\vec{QH} = \vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}$.

Для доказательства данного утверждения, которое является критерием (верно "тогда и только тогда"), необходимо доказать две части: прямую и обратную теоремы.

Введем векторную систему координат с началом в точке $Q$ — центре описанной около треугольника $ABC$ окружности. Тогда радиус-векторы вершин $A$, $B$, $C$ — это векторы $\vec{QA}$, $\vec{QB}$ и $\vec{QC}$. Поскольку $Q$ является центром описанной окружности, расстояния от $Q$ до каждой из вершин равны радиусу $R$ этой окружности. Это означает, что модули векторов равны:

$|\vec{QA}| = |\vec{QB}| = |\vec{QC}| = R$

В терминах скалярного произведения это можно записать как $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = R^2$ для векторов $\vec{QA}$, $\vec{QB}$, $\vec{QC}$.

Доказательство достаточности (из равенства следует, что H — ортоцентр)

Предположим, что для некоторой точки $H$ выполняется векторное равенство $\vec{QH} = \vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}$. Докажем, что $H$ является ортоцентром треугольника $ABC$.

Ортоцентр — это точка пересечения высот треугольника. Чтобы доказать, что $H$ — ортоцентр, достаточно показать, что прямая $AH$ перпендикулярна стороне $BC$, и прямая $BH$ перпендикулярна стороне $AC$. В векторной форме это означает, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю: $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$ и $\vec{BH} \cdot \vec{AC} = 0$.

Рассмотрим вектор $\vec{AH}$. По правилу разности векторов: $\vec{AH} = \vec{QH} - \vec{QA}$.

Используя данное нам равенство, получаем:

$\vec{AH} = (\vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}) - \vec{QA} = \vec{QB} + \vec{QC}$.

Вектор стороны $BC$ равен $\vec{BC} = \vec{QC} - \vec{QB}$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{AH}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AH} \cdot \vec{BC} = (\vec{QB} + \vec{QC}) \cdot (\vec{QC} - \vec{QB}) = \vec{QC} \cdot \vec{QC} - \vec{QB} \cdot \vec{QB} = |\vec{QC}|^2 - |\vec{QB}|^2$.

Так как $|\vec{QC}| = |\vec{QB}| = R$, получаем:

$\vec{AH} \cdot \vec{BC} = R^2 - R^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AH}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны. Это означает, что прямая $AH$ содержит высоту треугольника, опущенную на сторону $BC$.

Аналогично рассмотрим пару векторов $\vec{BH}$ и $\vec{AC}$.

$\vec{BH} = \vec{QH} - \vec{QB} = (\vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}) - \vec{QB} = \vec{QA} + \vec{QC}$.

$\vec{AC} = \vec{QC} - \vec{QA}$.

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{BH} \cdot \vec{AC} = (\vec{QA} + \vec{QC}) \cdot (\vec{QC} - \vec{QA}) = \vec{QC} \cdot \vec{QC} - \vec{QA} \cdot \vec{QA} = |\vec{QC}|^2 - |\vec{QA}|^2$.

Так как $|\vec{QC}| = |\vec{QA}| = R$, получаем:

$\vec{BH} \cdot \vec{AC} = R^2 - R^2 = 0$.

Следовательно, векторы $\vec{BH}$ и $\vec{AC}$ перпендикулярны, и прямая $BH$ содержит высоту, опущенную на сторону $AC$.

Поскольку точка $H$ принадлежит двум высотам треугольника, она является их точкой пересечения, то есть ортоцентром треугольника $ABC$.

Ответ: Доказано, что если для точки $H$ выполняется равенство $\vec{QH} = \vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}$, то $H$ является ортоцентром треугольника $ABC$.

Доказательство необходимости (из того, что H — ортоцентр, следует равенство)

Теперь предположим, что $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Докажем, что выполняется равенство $\vec{QH} = \vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}$.

Рассмотрим точку $H'$, определяемую векторным равенством $\vec{QH'} = \vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}$.

В предыдущей части доказательства (доказательство достаточности) мы показали, что любая точка, удовлетворяющая этому условию, является ортоцентром треугольника $ABC$.

Таким образом, точка $H'$ является ортоцентром.

Поскольку в любом невырожденном треугольнике существует только один ортоцентр (точка пересечения высот единственна), то точка $H'$ должна совпадать с данной точкой $H$.

$H' = H$.

Следовательно, для ортоцентра $H$ выполняется равенство $\vec{QH} = \vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}$.

Ответ: Доказано, что если точка $H$ является ортоцентром треугольника $ABC$, то выполняется равенство $\vec{QH} = \vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}$.