Номер 587, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

587. В усеченный конус вписана правильная усеченная $n$-угольная пирамида. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота — 4 см. Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что:

a) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 6$.

Для нахождения полной поверхности усеченной пирамиды необходимо сложить площади ее оснований и площадь боковой поверхности: $S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок}$.

Поскольку правильная n-угольная усеченная пирамида вписана в усеченный конус, ее основания являются правильными n-угольниками, вписанными в окружности оснований конуса.

Дано: радиус нижнего основания конуса $R = 5$ см, радиус верхнего основания конуса $r = 2$ см, высота конуса (и пирамиды) $H = 4$ см.

Площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $C$, вычисляется по формуле: $S_n = \frac{1}{2} n C^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$.

• Площадь нижнего основания пирамиды: $S_{нижн} = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$.
• Площадь верхнего основания пирамиды: $S_{верх} = \frac{1}{2} n r^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды: $S_{бок} = \frac{P_{нижн} + P_{верх}}{2} \cdot h_a$, где $P_{нижн}$ и $P_{верх}$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани) пирамиды.

Периметр правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $C$: $P_n = n \cdot s_n = n \cdot 2C \sin(\frac{\pi}{n})$, где $s_n$ — длина стороны n-угольника.

• Периметр нижнего основания: $P_{нижн} = n \cdot 2R \sin(\frac{\pi}{n})$.
• Периметр верхнего основания: $P_{верх} = n \cdot 2r \sin(\frac{\pi}{n})$.

Апофему $h_a$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и разностью радиусов вписанных в основания окружностей ($r_{вп\_нижн} - r_{вп\_верх}$). Радиус вписанной окружности для правильного n-угольника равен $C \cos(\frac{\pi}{n})$.

$h_a^2 = H^2 + (R\cos(\frac{\pi}{n}) - r\cos(\frac{\pi}{n}))^2 = H^2 + (R-r)^2 \cos^2(\frac{\pi}{n})$

$h_a = \sqrt{4^2 + (5-2)^2 \cos^2(\frac{\pi}{n})} = \sqrt{16 + 9 \cos^2(\frac{\pi}{n})}$

Теперь решим задачу для каждого случая.

а) n = 3

Для правильного треугольника ($n=3$):

1. Площади оснований:

$S_{нижн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{3}{2} \cdot 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см².

$S_{верх} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{3}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см².

2. Апофема:

$h_a = \sqrt{16 + 9 \cos^2(\frac{\pi}{3})} = \sqrt{16 + 9 \cdot (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{64+9}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ см.

3. Площадь боковой поверхности:

$P_{нижн} = 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ см.

$P_{верх} = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

$S_{бок} = \frac{15\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{21\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{21\sqrt{219}}{4}$ см².

4. Полная поверхность:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок} = \frac{75\sqrt{3}}{4} + 3\sqrt{3} + \frac{21\sqrt{219}}{4} = \frac{75\sqrt{3} + 12\sqrt{3}}{4} + \frac{21\sqrt{219}}{4} = \frac{87\sqrt{3} + 21\sqrt{219}}{4}$ см².

Ответ: $S_{полн} = \frac{87\sqrt{3} + 21\sqrt{219}}{4}$ см².

б) n = 4

Для правильного четырехугольника (квадрата, $n=4$):

1. Площади оснований:

$S_{нижн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5^2 \cdot \sin(\frac{2\pi}{4}) = 2 \cdot 25 \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 50$ см².

$S_{верх} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2^2 \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 4 \cdot 1 = 8$ см².

2. Апофема:

$h_a = \sqrt{16 + 9 \cos^2(\frac{\pi}{4})} = \sqrt{16 + 9 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{16 + 9 \cdot \frac{2}{4}} = \sqrt{16 + \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{41}{2}} = \frac{\sqrt{82}}{2}$ см.

3. Площадь боковой поверхности:

$P_{нижн} = 4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) = 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}$ см.

$P_{верх} = 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

$S_{бок} = \frac{20\sqrt{2} + 8\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} = \frac{28\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} = 14\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} = 7\sqrt{164} = 7\sqrt{4 \cdot 41} = 14\sqrt{41}$ см².

4. Полная поверхность:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок} = 50 + 8 + 14\sqrt{41} = 58 + 14\sqrt{41}$ см².

Ответ: $S_{полн} = 58 + 14\sqrt{41}$ см².

в) n = 6

Для правильного шестиугольника ($n=6$):

1. Площади оснований:

$S_{нижн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5^2 \cdot \sin(\frac{2\pi}{6}) = 3 \cdot 25 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = 75 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{2}$ см².

$S_{верх} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2^2 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².

2. Апофема:

$h_a = \sqrt{16 + 9 \cos^2(\frac{\pi}{6})} = \sqrt{16 + 9 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{16 + 9 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{16 + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{64+27}{4}} = \frac{\sqrt{91}}{2}$ см.

3. Площадь боковой поверхности:

$P_{нижн} = 6 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$ см.

$P_{верх} = 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

$S_{бок} = \frac{30 + 12}{2} \cdot \frac{\sqrt{91}}{2} = \frac{42}{2} \cdot \frac{\sqrt{91}}{2} = \frac{21\sqrt{91}}{2}$ см².

4. Полная поверхность:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок} = \frac{75\sqrt{3}}{2} + 6\sqrt{3} + \frac{21\sqrt{91}}{2} = \frac{75\sqrt{3} + 12\sqrt{3}}{2} + \frac{21\sqrt{91}}{2} = \frac{87\sqrt{3} + 21\sqrt{91}}{2}$ см².

Ответ: $S_{полн} = \frac{87\sqrt{3} + 21\sqrt{91}}{2}$ см².