Номер 514, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

514. Четыре шара лежат на столе так, что каждый касается трех остальных и плоскости стола. Три шара имеют радиус, равный $R$. Найдите радиус четвертого шара.

Обозначим центры трех шаров радиуса $R$ как $O_1, O_2, O_3$, а центр четвертого шара, радиус которого нужно найти, как $O_4$. Пусть искомый радиус четвертого шара равен $r$.

Все четыре шара лежат на столе, то есть касаются одной и той же плоскости. Это означает, что центры шаров находятся на высоте от этой плоскости, равной их радиусам. Так, центры $O_1, O_2, O_3$ находятся на высоте $R$ от стола, а центр $O_4$ — на высоте $r$.

Три шара радиуса $R$ касаются друг друга. Следовательно, расстояние между центрами любых двух из этих шаров равно сумме их радиусов: $R+R=2R$. Таким образом, точки $O_1, O_2, O_3$ являются вершинами равностороннего треугольника со стороной $2R$. Этот треугольник расположен в плоскости, параллельной столу на высоте $R$.

Четвертый шар касается трех больших шаров. Это означает, что расстояние от его центра $O_4$ до каждого из центров $O_1, O_2, O_3$ одинаково и равно $R+r$. Таким образом, точка $O_4$ равноудалена от вершин треугольника $O_1O_2O_3$. Геометрически это означает, что проекция точки $O_4$ на плоскость треугольника $O_1O_2O_3$ совпадает с центром этого треугольника.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть плоскость стола будет плоскостью $xy$ ($z=0$). Разместим начало координат $(0,0,0)$ так, чтобы оно было проекцией центра $M$ треугольника $O_1O_2O_3$ на стол.

В такой системе координат центр $M$ треугольника $O_1O_2O_3$ имеет координаты $(0, 0, R)$. Поскольку проекция центра $O_4$ также совпадает с началом координат, то $O_4$ лежит на оси $z$, и его координаты равны $(0, 0, r)$.

Найдем координаты одной из вершин треугольника, например $O_1$. Расстояние от центра равностороннего треугольника до его вершины равно радиусу описанной окружности. Для треугольника со стороной $a=2R$ этот радиус равен $d = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$. Это расстояние от точки $M(0,0,R)$ до точки $O_1$. Так как $O_1$ лежит в плоскости $z=R$, мы можем расположить ее так, что ее координаты будут $O_1\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}, 0, R\right)$.

Теперь воспользуемся условием касания четвертого шара и шара с центром $O_1$. Расстояние между их центрами $d(O_1, O_4)$ равно сумме их радиусов $R+r$. Вычислим квадрат этого расстояния, используя их координаты: $O_1\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}, 0, R\right)$ и $O_4(0, 0, r)$.

С одной стороны, квадрат расстояния равен квадрату суммы радиусов:$d(O_1, O_4)^2 = (R+r)^2$.

С другой стороны, по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:$d(O_1, O_4)^2 = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2 + (R - r)^2 = \frac{4R^2}{3} + (R-r)^2$.

Приравниваем два выражения для квадрата расстояния:$(R+r)^2 = \frac{4R^2}{3} + (R-r)^2$.

Раскроем скобки в уравнении, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:$R^2 + 2Rr + r^2 = \frac{4R^2}{3} + R^2 - 2Rr + r^2$.

Сократим члены $R^2$ и $r^2$, присутствующие в обеих частях уравнения:$2Rr = \frac{4R^2}{3} - 2Rr$.

Перенесем $-2Rr$ в левую часть уравнения:$2Rr + 2Rr = \frac{4R^2}{3}$$4Rr = \frac{4R^2}{3}$.

Так как радиус $R$ по условию является величиной положительной ($R>0$), мы можем разделить обе части уравнения на $4R$:$r = \frac{4R^2}{3 \cdot 4R} = \frac{R}{3}$.

Ответ: $\frac{R}{3}$.