Номер 441, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

441. На отрезке и двух его половинах в одной полуплоскости построены полукруги (рис. 312).

Учитывая, что радиус меньшего полукруга равен $r$, найдите радиус круга, касающегося всех трех полукругов.

Рис. 312

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть диаметр большого полукруга лежит на оси абсцисс (Ox), а его центр находится в начале координат $O(0, 0)$. Все полукруги расположены в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Из условия известно, что радиус каждого из двух меньших полукругов равен $r$. Эти полукруги построены на двух равных половинах диаметра большого полукруга. Таким образом, диаметр каждого малого полукруга равен $2r$.

Центры малых полукругов будут находиться в точках $O_1(-r, 0)$ и $O_2(r, 0)$.

Диаметр большого полукруга равен сумме диаметров двух малых, то есть $2r + 2r = 4r$. Следовательно, радиус большого полукруга $R = \frac{4r}{2} = 2r$. Его центр, как мы определили, находится в точке $O(0, 0)$.

Пусть искомый круг имеет радиус $x$ и центр в точке $C(x_c, y_c)$. В силу симметрии фигуры относительно оси ординат (Oy), центр этого круга должен лежать на этой оси. Значит, его абсцисса $x_c = 0$, и координаты центра — $C(0, y_c)$.

Теперь используем условия касания окружностей. Расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно сумме (при внешнем касании) или разности (при внутреннем касании) их радиусов.

1. Касание искомого круга и большого полукруга.
Касание внутреннее. Расстояние между центрами $O(0, 0)$ и $C(0, y_c)$ равно разности их радиусов $R - x$.

Расстояние $d(O, C) = \sqrt{(0-0)^2 + (y_c-0)^2} = y_c$.

Получаем первое уравнение: $y_c = R - x = 2r - x$.

2. Касание искомого круга и одного из малых полукругов (например, правого).
Касание внешнее. Расстояние между центрами $O_2(r, 0)$ и $C(0, y_c)$ равно сумме их радиусов $r + x$.

Расстояние $d(O_2, C) = \sqrt{(r-0)^2 + (0-y_c)^2} = \sqrt{r^2 + y_c^2}$.

Получаем второе уравнение: $\sqrt{r^2 + y_c^2} = r + x$.

Теперь решим полученную систему уравнений для нахождения $x$.

Из второго уравнения, возведя обе части в квадрат, имеем:

$r^2 + y_c^2 = (r + x)^2$

$r^2 + y_c^2 = r^2 + 2rx + x^2$

$y_c^2 = 2rx + x^2$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $y_c$ из первого уравнения ($y_c = 2r - x$):

$(2r - x)^2 = 2rx + x^2$

Раскроем скобки в левой части:

$4r^2 - 4rx + x^2 = 2rx + x^2$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$4r^2 - 4rx = 2rx$

Перенесем все члены, содержащие $x$, в правую часть:

$4r^2 = 2rx + 4rx$

$4r^2 = 6rx$

Так как радиус $r \neq 0$, мы можем разделить обе части на $6r$:

$x = \frac{4r^2}{6r}$

$x = \frac{2}{3}r$

Ответ: радиус круга, касающегося всех трех полукругов, равен $\frac{2}{3}r$.