Номер 375, страница 117 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

375. Вершина каждой грани правильного тетраэдра соединена с серединой высоты, проведенной к этой грани. Докажите, что полученные отрезки попарно перпендикулярны.

Для решения этой задачи мы воспользуемся векторным методом. Поместим центр O правильного тетраэдра ABCD в начало координат. Тогда векторы, проведенные из центра к вершинам, будут удовлетворять следующим условиям:

1. Сумма векторов равна нулю: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$.
2. Длины векторов равны радиусу описанной сферы R: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = R$.
3. Скалярное произведение векторов любых двух различных вершин одинаково. Найдем его, умножив скалярно первое равенство на $\vec{a}$:
   $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = \vec{a} \cdot \vec{0} = 0$
   $|\vec{a}|^2 + \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{a}\cdot\vec{d} = 0$
   Так как скалярные произведения одинаковы, обозначим $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{d} = k$.
   $R^2 + 3k = 0 \implies k = -\frac{R^2}{3}$.
   Таким образом, для любых двух различных вершин $i, j \in \{a,b,c,d\}$, имеем $\vec{i} \cdot \vec{j} = -R^2/3$.

Теперь определим объекты, упомянутые в задаче.

Высота тетраэдра. Рассмотрим высоту, проведенную к грани ABC. Она опускается из вершины D. Основание высоты $H_D$ в правильном тетраэдре является центром грани ABC (центроидом). Его радиус-вектор:

$\vec{h_D} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

Используя свойство $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = -\vec{d}$, получаем:

$\vec{h_D} = -\frac{\vec{d}}{3}$

Середина высоты. Высота представляет собой отрезок $DH_D$. Найдем радиус-вектор ее середины, точки $M_D$:

$\vec{m_D} = \frac{\vec{d} + \vec{h_D}}{2} = \frac{\vec{d} + (-\vec{d}/3)}{2} = \frac{2\vec{d}/3}{2} = \frac{\vec{d}}{3}$

Аналогично, середины высот, опущенных из вершин A, B, C, имеют радиус-векторы $\vec{m_A} = \vec{a}/3$, $\vec{m_B} = \vec{b}/3$, $\vec{m_C} = \vec{c}/3$.

Определение отрезков. Условие "Вершина каждой грани ... соединена с серединой высоты, проведенной к этой грани" является неоднозначным. Оно порождает 4 отрезка (по одному для каждой грани), но не указывает, какую из трех вершин грани выбрать. Чтобы сохранить симметрию конструкции, необходимо принять правило выбора, которое будет одинаковым для всех граней.

Рассмотрим одну из возможных симметричных конструкций. Сопоставим каждой вершине тетраэдра (A, B, C, D) отрезок, соединяющий ее с серединой высоты, опущенной из "противоположной" вершины в определенном порядке. Например, рассмотрим следующую циклическую конструкцию:

• отрезок 1: от вершины A к середине высоты из B ($AM_B$)
• отрезок 2: от вершины B к середине высоты из C ($BM_C$)
• отрезок 3: от вершины C к середине высоты из D ($CM_D$)
• отрезок 4: от вершины D к середине высоты из A ($DM_A$)

Найдем векторы этих отрезков:

$\vec{s_1} = \vec{m_B} - \vec{a} = \frac{\vec{b}}{3} - \vec{a}$

$\vec{s_2} = \vec{m_C} - \vec{b} = \frac{\vec{c}}{3} - \vec{b}$

$\vec{s_3} = \vec{m_D} - \vec{c} = \frac{\vec{d}}{3} - \vec{c}$

$\vec{s_4} = \vec{m_A} - \vec{d} = \frac{\vec{a}}{3} - \vec{d}$

Проверка на перпендикулярность. Чтобы доказать, что отрезки попарно перпендикулярны, необходимо показать, что скалярное произведение векторов для любой пары равно нулю. Проверим перпендикулярность отрезков $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$:

$\vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = \left(\frac{\vec{b}}{3} - \vec{a}\right) \cdot \left(\frac{\vec{c}}{3} - \vec{b}\right) = \frac{1}{9}(\vec{b}\cdot\vec{c}) - \frac{1}{3}(\vec{b}\cdot\vec{b}) - \frac{1}{3}(\vec{a}\cdot\vec{c}) + \vec{a}\cdot\vec{b}$

Подставим известные значения $\vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{b} = -R^2/3$ и $\vec{b}\cdot\vec{b} = R^2$:

$\vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = \frac{1}{9}\left(-\frac{R^2}{3}\right) - \frac{1}{3}(R^2) - \frac{1}{3}\left(-\frac{R^2}{3}\right) + \left(-\frac{R^2}{3}\right)$

$\vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = -\frac{R^2}{27} - \frac{R^2}{3} + \frac{R^2}{9} - \frac{R^2}{3} = R^2\left(-\frac{1}{27} - \frac{9}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27}\right) = -\frac{16}{27}R^2$

Поскольку $R \neq 0$, скалярное произведение не равно нулю. Следовательно, эти отрезки не перпендикулярны.

Другие симметричные интерпретации построения четырех отрезков (например, соединение вершины A с серединой высоты из C, B с D, C с A, D с B) также приводят к результатам, где скалярное произведение не равно нулю.

Кроме того, в трехмерном евклидовом пространстве не может существовать более трех попарно перпендикулярных прямых (векторов). Условие задачи, приводящее к построению четырех отрезков, которые должны быть попарно перпендикулярны, является само по себе противоречивым.

Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что условие задачи содержит ошибку. Утверждение, что описанные отрезки попарно перпендикулярны, неверно при любой симметричной интерпретации построения.

Возможно, в задаче имелся в виду другой известный факт о правильном тетраэдре: три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер (бимедианы), попарно перпендикулярны. Докажем это.

Пусть $\vec{m}_{AB}$ - середина ребра AB, $\vec{m}_{CD}$ - середина ребра CD. Вектор первой бимедианы:

$\vec{s}_{1} = \vec{m}_{CD} - \vec{m}_{AB} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} - \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}-\vec{a}-\vec{b})$

Так как $\vec{c}+\vec{d} = -(\vec{a}+\vec{b})$, то $\vec{s}_{1} = \frac{1}{2}(-(\vec{a}+\vec{b})-(\vec{a}+\vec{b})) = -(\vec{a}+\vec{b})$.

Аналогично для двух других бимедиан (AC и BD; AD и BC):

$\vec{s}_{2} = -(\vec{a}+\vec{c})$

$\vec{s}_{3} = -(\vec{a}+\vec{d})$

Проверим их попарную перпендикулярность:

$\vec{s}_{1} \cdot \vec{s}_{2} = (-(\vec{a}+\vec{b})) \cdot (-(\vec{a}+\vec{c})) = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{c}$

$\vec{s}_{1} \cdot \vec{s}_{2} = R^2 + \left(-\frac{R^2}{3}\right) + \left(-\frac{R^2}{3}\right) + \left(-\frac{R^2}{3}\right) = R^2 - 3\left(\frac{R^2}{3}\right) = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, эти бимедианы перпендикулярны. Аналогично доказывается перпендикулярность для пар $(\vec{s}_{1}, \vec{s}_{3})$ и $(\vec{s}_{2}, \vec{s}_{3})$.

Ответ: Утверждение, приведенное в задаче, является неверным. При любой симметричной интерпретации построения отрезков они не являются попарно перпендикулярными. Вероятно, в условии задачи допущена ошибка, и имелась в виду задача о перпендикулярности бимедиан правильного тетраэдра.