Номер 190, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

190. Найдите:

а) образующую конуса, учитывая данные, приведенные на рис. 118;

б) высоту конуса, учитывая данные, приведенные на рис. 119;

в) боковую поверхность конуса, учитывая данные, приведенные на рис. 120;

Рис. 118: $l$, $8$, $6$

Рис. 119: $16\sqrt{2}$, $h$, $45^{\circ}$

Рис. 120: $l$, $60^{\circ}$, $4$

Рис. 121: $l$, $3$, $8$, $4$

Рис. 122: $h_1$, $45^{\circ}$, $3$, $6$

Рис. 123: $5$, $3$

Рис. 124: $l$, $r$, $2l$, $2r$

г) образующую усеченного конуса, учитывая данные, приведенные на рис. 121;

д) высоту усеченного конуса, учитывая данные, приведенные на рис. 122;

е) полную поверхность конуса, учитывая данные, приведенные на рис. 123;

ж) отношение полных поверхностей конусов, учитывая данные, приведенные на рис. 124.

а)

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Высота конуса $h$, радиус его основания $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Из данных на рис. 118 имеем: высота $h=8$ и радиус $r=6$. По теореме Пифагора $l^2 = h^2 + r^2$. Подставим значения: $l^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. Следовательно, $l = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

б)

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$. На рис. 119 дана образующая $l = 16\sqrt{2}$ и угол между образующей и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$. В данном треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом, мы можем использовать тригонометрическую функцию синус: $\sin(\alpha) = \frac{h}{l}$. Отсюда $h = l \cdot \sin(\alpha)$. Подставим известные значения: $h = 16\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16 \cdot 2}{2} = 16$.

Ответ: 16.

в)

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — образующая. На рис. 120 дан радиус $r=4$ и угол между образующей и плоскостью основания $\alpha = 60^\circ$. Сначала необходимо найти длину образующей $l$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, радиус $r$ является прилежащим катетом к углу $\alpha$, а образующая $l$ — гипотенузой. Используя косинус, получаем: $\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$. Отсюда $l = \frac{r}{\cos(\alpha)} = \frac{4}{\cos(60^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8$. Теперь можно вычислить площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi$.

Ответ: $32\pi$.

г)

Для нахождения образующей усеченного конуса $l$ рассмотрим его осевое сечение, которое представляет собой равнобокую трапецию. Если провести высоту из вершины меньшего основания к большему, образуется прямоугольный треугольник. Его гипотенузой будет образующая $l$, а катетами — высота усеченного конуса $h$ и разность радиусов оснований $(R-r)$. По данным с рис. 121: $h=4$, радиус большего основания $R=8$, радиус меньшего основания $r=3$. Разность радиусов равна $R-r = 8-3=5$. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$. Следовательно, $l = \sqrt{41}$.

Ответ: $\sqrt{41}$.

д)

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и прямоугольный треугольник, образованный его высотой $h$, образующей и разностью радиусов $(R-r)$. На рис. 122 даны радиусы оснований $R=6$ и $r=3$, а также угол наклона образующей к плоскости большего основания $\alpha = 45^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, а разность радиусов $(R-r)$ — прилежащим катетом. Длина прилежащего катета: $R-r = 6-3=3$. Используя тангенс, имеем: $\tan(\alpha) = \frac{h}{R-r}$. Отсюда $h = (R-r) \cdot \tan(\alpha) = 3 \cdot \tan(45^\circ) = 3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: 3.

е)

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ является суммой площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi r l$) и площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$). Таким образом, формула для полной поверхности: $S_{полн} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l+r)$. На рис. 123 даны радиус основания $r=3$ и образующая $l=5$. Подставим эти значения в формулу: $S_{полн} = \pi \cdot 3 \cdot (5+3) = 3\pi \cdot 8 = 24\pi$.

Ответ: $24\pi$.

ж)

Для нахождения отношения полных поверхностей конусов с рис. 124, найдем сначала площадь каждого из них. Формула полной поверхности конуса: $S = \pi r (l+r)$. Для первого конуса с радиусом $r_1=r$ и образующей $l_1=l$ площадь $S_1 = \pi r (l+r)$. Для второго конуса с радиусом $r_2=2r$ и образующей $l_2=2l$ площадь $S_2 = \pi (2r) (2l+2r) = 2\pi r \cdot 2(l+r) = 4\pi r(l+r)$. Отношение площадей: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi r(l+r)}{\pi r(l+r)} = 4$. Альтернативно, так как конусы подобны с коэффициентом подобия $k=2$ (отношение соответствующих линейных размеров), отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $k^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: 4.