Номер 185, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

185. В основании пирамиды SABCD лежит трапеция, в которой $AD \parallel BC$ и $AD = 3BC$. На ребрах SA, SB и SC точки E, F и G выбраны так, что $SE : EA = 1 : 2$, $SF : FB = 1 : 1$ и $SG : GC = 3 : 2$. Найдите отношение, в котором плоскость EFG делит объем пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть вершина пирамиды S будет началом координат. Обозначим векторы $\vec{SA} = \vec{a}$, $\vec{SB} = \vec{b}$, $\vec{SC} = \vec{c}$ и $\vec{SD} = \vec{d}$.

В основании пирамиды лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$ и $AD = 3BC$. Это условие в векторной форме записывается как $\vec{AD} = 3\vec{BC}$. Выразим это через векторы, отложенные от вершины $S$:$\vec{d} - \vec{a} = 3(\vec{c} - \vec{b})$Отсюда получаем выражение для вектора $\vec{d}$:$\vec{d} = \vec{a} - 3\vec{b} + 3\vec{c}$.

Секущая плоскость $EFG$ пересекает ребра $SA$, $SB$, $SC$ в точках $E$, $F$, $G$ соответственно. Найдем точку $H$, в которой эта плоскость пересекает ребро $SD$. Из условий задачи известны отношения, в которых точки делят ребра:$SE : EA = 1 : 2 \implies \vec{SE} = \frac{1}{3}\vec{SA} = \frac{1}{3}\vec{a}$$SF : FB = 1 : 1 \implies \vec{SF} = \frac{1}{2}\vec{SB} = \frac{1}{2}\vec{b}$$SG : GC = 3 : 2 \implies \vec{SG} = \frac{3}{5}\vec{SC} = \frac{3}{5}\vec{c}$Пусть точка $H$ лежит на ребре $SD$ и делит его в отношении $SH : HD = k : (1-k)$, тогда $\vec{SH} = k \cdot \vec{d} = k(\vec{a} - 3\vec{b} + 3\vec{c})$. Поскольку точки $E, F, G, H$ лежат в одной плоскости, вектор $\vec{EH}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{EF}$ и $\vec{EG}$: $\vec{EH} = x\vec{EF} + y\vec{EG}$. Найдем эти векторы:$\vec{EF} = \vec{SF} - \vec{SE} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{a}$$\vec{EG} = \vec{SG} - \vec{SE} = \frac{3}{5}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{a}$$\vec{EH} = \vec{SH} - \vec{SE} = k(\vec{a} - 3\vec{b} + 3\vec{c}) - \frac{1}{3}\vec{a} = (k-\frac{1}{3})\vec{a} - 3k\vec{b} + 3k\vec{c}$Приравниваем выражения для $\vec{EH}$:$(k-\frac{1}{3})\vec{a} - 3k\vec{b} + 3k\vec{c} = x(\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{a}) + y(\frac{3}{5}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{a})$$(k-\frac{1}{3})\vec{a} - 3k\vec{b} + 3k\vec{c} = (-\frac{x}{3}-\frac{y}{3})\vec{a} + \frac{x}{2}\vec{b} + \frac{3y}{5}\vec{c}$Так как векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ некомпланарны (образуют базис), мы можем приравнять коэффициенты при них:$\begin{cases} k-\frac{1}{3} = -\frac{x}{3}-\frac{y}{3} \\ -3k = \frac{x}{2} \\ 3k = \frac{3y}{5} \end{cases}$Из второго и третьего уравнений выражаем $x$ и $y$ через $k$:$x = -6k$$y = 5k$Подставляем в первое уравнение:$k - \frac{1}{3} = -\frac{-6k}{3} - \frac{5k}{3} = 2k - \frac{5k}{3} = \frac{k}{3}$$k - \frac{k}{3} = \frac{1}{3} \implies \frac{2k}{3} = \frac{1}{3} \implies k = \frac{1}{2}$. Таким образом, $\frac{SH}{SD} = \frac{1}{2}$, то есть точка $H$ — середина ребра $SD$.

Теперь найдем объем отсеченной части пирамиды. Для этого разобьем исходную пирамиду $SABCD$ на две: $SABC$ и $SACD$. Объем всей пирамиды $V = V_{SABC} + V_{SACD}$. Отношение объемов этих пирамид равно отношению площадей их оснований: $\frac{V_{SABC}}{V_{SACD}} = \frac{S_{ABC}}{S_{ACD}}$. Найдем отношение площадей треугольников $ABC$ и $ACD$. Пусть диагонали трапеции $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны с коэффициентом подобия $\frac{BC}{AD} = \frac{1}{3}$. Следовательно, $\frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD} = \frac{1}{3}$. Пусть $S_{\triangle BOC} = S_0$. Тогда $S_{\triangle AOB} = 3S_{\triangle BOC} = 3S_0$ (так как у них общая высота из вершины B, а основания $AO=3CO$).$S_{\triangle COD} = 3S_{\triangle BOC} = 3S_0$ (так как у них общая высота из вершины C, а основания $DO=3BO$).$S_{\triangle AOD} = 3S_{\triangle COD} = 3(3S_0) = 9S_0$ (так как у них общая высота из вершины D, а основания $AO=3CO$). Площадь основания $ABC$ равна $S_{ABC} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} = 3S_0 + S_0 = 4S_0$. Площадь основания $ACD$ равна $S_{ACD} = S_{\triangle AOD} + S_{\triangle COD} = 9S_0 + 3S_0 = 12S_0$. Тогда отношение площадей: $\frac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \frac{4S_0}{12S_0} = \frac{1}{3}$. Следовательно, $\frac{V_{SABC}}{V_{SACD}} = \frac{1}{3}$. Пусть $V_{SABC} = V_1$, тогда $V_{SACD} = 3V_1$, а объем всей пирамиды $V_{SABCD} = V_1 + 3V_1 = 4V_1$.

Отсеченная часть пирамиды (верхняя, с вершиной $S$) представляет собой многогранник $SEFGH$, который можно разбить на две пирамиды с общей вершиной $S$: $SEFG$ и $SEGH$. Объем пирамиды $SEFG$ относится к объему пирамиды $SABC$ как произведение отношений длин ребер, выходящих из общей вершины $S$:$\frac{V_{SEFG}}{V_{SABC}} = \frac{SE}{SA} \cdot \frac{SF}{SB} \cdot \frac{SG}{SC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{10}$.$V_{SEFG} = \frac{1}{10}V_{SABC} = \frac{1}{10}V_1$. Аналогично для пирамиды $SEGH$ и $SACD$:$\frac{V_{SEGH}}{V_{SACD}} = \frac{SE}{SA} \cdot \frac{SG}{SC} \cdot \frac{SH}{SD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$.$V_{SEGH} = \frac{1}{10}V_{SACD} = \frac{1}{10}(3V_1) = \frac{3}{10}V_1$. Объем верхней отсеченной части $V_{верх} = V_{SEFG} + V_{SEGH} = \frac{1}{10}V_1 + \frac{3}{10}V_1 = \frac{4}{10}V_1 = \frac{2}{5}V_1$. Объем всей пирамиды $V_{SABCD} = 4V_1$. Объем нижней части $V_{низ} = V_{SABCD} - V_{верх} = 4V_1 - \frac{2}{5}V_1 = \frac{18}{5}V_1$. Искомое отношение объемов, в котором плоскость $EFG$ делит пирамиду (отношение объема верхней части к объему нижней):$\frac{V_{верх}}{V_{низ}} = \frac{\frac{2}{5}V_1}{\frac{18}{5}V_1} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $1:9$.