Номер 164, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

164. Найдите площадь диагонального сечения правильной усеченной четырехугольной пирамиды, у которой стороны оснований равны $a$ и $b$, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $\alpha$.

Рассмотрим правильную усеченную четырехугольную пирамиду. По условию, ее основания — это квадраты. Пусть сторона нижнего основания равна $a$, а сторона верхнего основания — $b$. Будем считать, что $a > b$.

Диагональное сечение данной пирамиды проходит через две противоположные вершины нижнего основания и соответствующие им вершины верхнего основания. Такое сечение представляет собой равнобокую трапецию. Обозначим эту трапецию $ACC_1A_1$, где $AC$ и $A_1C_1$ — диагонали нижнего и верхнего оснований пирамиды соответственно.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$, где $d_1$ и $d_2$ — длины оснований трапеции, а $h$ — ее высота.

Основаниями трапеции $ACC_1A_1$ являются диагонали квадратов. Найдем их длины:

Длина диагонали нижнего основания (большее основание трапеции):
$d_1 = AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Длина диагонали верхнего основания (меньшее основание трапеции):
$d_2 = A_1C_1 = \sqrt{b^2 + b^2} = \sqrt{2b^2} = b\sqrt{2}$.

Высота трапеции $h$ совпадает с высотой усеченной пирамиды. Для ее нахождения воспользуемся информацией об угле $\alpha$, который боковое ребро составляет с плоскостью основания.

Возьмем боковое ребро $AA_1$. Угол между прямой (ребром) и плоскостью (основанием) — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Спроектируем ребро $AA_1$ на плоскость нижнего основания $ABCD$. Проекцией точки $A$ является сама точка $A$. Спроектируем точку $A_1$ перпендикулярно на плоскость $ABCD$ и назовем проекцию точкой $H$. Таким образом, $A_1H$ — это высота пирамиды $h$, а отрезок $AH$ — это проекция ребра $AA_1$ на плоскость основания.

По определению, угол $\angle A_1AH = \alpha$. Из прямоугольного треугольника $\triangle A_1HA$ имеем: $h = A_1H = AH \cdot \tan(\alpha)$.

Теперь необходимо найти длину катета $AH$. Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований (точки пересечения диагоналей). Так как пирамида правильная, ее высота $OO_1$ перпендикулярна основаниям, и точка $O_1$ проектируется в точку $O$. Точка $A_1$ проектируется в $H$. Это означает, что отрезок $OH$ является проекцией отрезка $O_1A_1$. Поскольку $O_1A_1$ лежит в плоскости, параллельной плоскости проекции, их длины равны: $OH = O_1A_1$.

Точки $A, H, O$ лежат на одной прямой — диагонали $AC$. Длина отрезка $AO$ — это половина диагонали $AC$: $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Длина отрезка $O_1A_1$ — это половина диагонали $A_1C_1$: $O_1A_1 = \frac{b\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $OH = \frac{b\sqrt{2}}{2}$.

Длина отрезка $AH$ равна разности длин $AO$ и $OH$: $AH = AO - OH = \frac{a\sqrt{2}}{2} - \frac{b\sqrt{2}}{2} = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2}$.

Теперь мы можем найти высоту $h$: $h = AH \cdot \tan(\alpha) = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)$.

Подставим найденные значения оснований ($d_1, d_2$) и высоты ($h$) в формулу площади трапеции: $S = \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{2}}{2} \cdot \left( \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha) \right)$.

Упростим полученное выражение: $S = \frac{(a+b)\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha) = \frac{(a+b)(a-b)(\sqrt{2})^2}{4} \tan(\alpha)$. $S = \frac{(a^2-b^2) \cdot 2}{4} \tan(\alpha) = \frac{a^2-b^2}{2} \tan(\alpha)$.

Ответ: $S = \frac{a^2-b^2}{2} \tan(\alpha)$