Номер 2, страница 235 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

2. Какая доля ядер изотопа германия $_{32}^{68}\text{Ge}$ с периодом полураспада $T_{1/2} = 270$ сут сохранится через промежуток времени $t = 4,5$ года?

Дано:

Изотоп: $_{32}^{68}\text{Ge}$

Период полураспада: $T_{1/2} = 270 \text{ сут}$

Промежуток времени: $t = 4,5 \text{ года}$

Найти:

$\frac{N}{N_0}$ — долю сохранившихся ядер.

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает уменьшение количества радиоактивных ядер $N$ с течением времени $t$. Он выражается формулой:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

где $N_0$ — начальное число ядер, а $T_{1/2}$ — период полураспада.

Искомая доля сохранившихся ядер — это отношение числа ядер в момент времени $t$ к начальному числу ядер, то есть $\frac{N}{N_0}$.

$\frac{N}{N_0} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Для вычисления показателя степени $\frac{t}{T_{1/2}}$ необходимо, чтобы время $t$ и период полураспада $T_{1/2}$ были выражены в одинаковых единицах. Хотя мы перевели данные в СИ, для удобства расчета можно использовать сутки, так как отношение $\frac{t}{T_{1/2}}$ является безразмерной величиной.

$T_{1/2} = 270 \text{ сут}$

$t = 4,5 \text{ года} = 4,5 \cdot 365 \text{ сут} = 1642,5 \text{ сут}$

Теперь вычислим отношение времени к периоду полураспада:

$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{1642,5}{270} \approx 6,0833$

Подставим полученное значение в формулу для доли ядер:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-6,0833} = \frac{1}{2^{6,0833}}$

Выполним окончательный расчет:

$2^{6,0833} \approx 67,89$

$\frac{N}{N_0} \approx \frac{1}{67,89} \approx 0,0147$

Таким образом, через 4,5 года сохранится приблизительно 0,0147 (или 1,47%) от первоначального числа ядер изотопа германия-68.

Ответ: сохранится доля ядер, равная примерно $0,0147$.